\label{sect:desarrollo}

\subsection{Resoluci'on del problema}

Se defini'o una familia de variables $t_{i,j}$ para $0 \leq i < n$ 
y $0 \leq j \leq m$. La variable $t_{i,j}$ representa la temperatura
en el punto de radio $\frac{j}{m}$ y 'angulo $\frac{i}{2 n \pi}$.


\newcommand{\dr}[0]{(\Delta r)}
\newcommand{\drc}[0]{(\Delta r)^2}
\newcommand{\da}[0]{(\Delta \theta)}
\newcommand{\dac}[0]{(\Delta \theta)^2}

Utilizando las ecuaciones provistas en el enunciado se llega al siguiente
sistema, extendido por completud para que las variables representando
temperaturas dentro del horno tomen un valor igual a su temperatura
interna (ver ap'endice~\ref{sect:enunciado}). En las pr'oximas
ecuaciones $\da = \frac{2 \pi}{n}$ representa la diferencia entre dos 
'angulos consecutivos y $\dr = \frac{1}{m}$ la distancia entre dos radios
consecutivos.

$$
\left(\frac{-2}{\drc} + \frac{1}{j \drc} - \frac{2}{j^2 \drc \dac}\right)
	t_{i,j} +
\left(\frac{1}{\drc} - \frac{1}{j \drc}\right) t_{i,j-1} + $$
$$
\frac{1}{\drc} t_{i,j+1} +
\frac{1}{j^2 \dac \drc} t_{i-1 \textrm{ mod } n,j} +
\frac{1}{j^2 \dac \drc} t_{i+1 \textrm{ mod } n,j} = 0
\hspace{0.3cm}
\forall i,j\ r[i] < j < m$$
	
$$
t_{i,j} = T_i
\hspace{0.3cm} \forall i,j\ j \leq r[i]
$$

$$
\left(\frac{K}{\dr h} + 1\right) t_{i,m} +
\frac{-K}{\dr h} t_{i,m-1} = T_\infty
\hspace{0.3cm} \forall i
$$

Estas ecuaciones luego se resuelven utilizando un sistema de ecuaciones 
lineales. Notar que para cada $i,j$ vale exactamente una de las 3 
ecuaciones, por lo tanto resulta un sistema de $nm$ ecuaciones con $nm$
inc'ognitas. 

'Unicamente para optimizaci'on del tiempo de corrida, las variables cuyo 
valor es directamente conocido (por la segunda ecuaci'on) en lugar de 
resolverse dentro del sistema, se les asigna el valor directamente al 
principio, actualizando el resto de las ecuaciones reemplazando.


\subsection{Setting General de la experimentaci'on}
\label{sect:setting}
Para testear el programa desarrollado se realizaron diversos tests que se 
describir'an a continuaci'on. Los resultados de estos pueden encontrarse
en la pr'oxima secci'on (ver secci'on \ref{sect:resultados} ).

El objetivo de estos test fue analizar el c'alculo de la temperatura para 
distintas figuras centradas o desplazadas y estudiar las variaciones dadas 
en el resultado cuando se var'ia la discretizaci'on (tanto la de los 'angulos 
como la de los lados).

Un primer acercamiento al problema sugiri'o que la forma m'as simple para
testear era un horno redondo. Sin embargo, pensando un poco m'as en la forma 
en la que se resuelve el problema, se lleg'o a la conclusi'on de 
que esto no tiene sentido porque cualquier c'irculo con el que se intentara 
testear ser'ia discretizado como un pol'igono. Es por esto que las pruebas 
se realizaron sobre figuras geom'etricas ya discretizadas, es decir, 
pol'igonos. 

Mas a'un, para simplificar la generaci'on de casos, se utilizaron
pol'igonos regulares. Esto no redunda en una simplificaci'on del problema, ya
que al no estar centrados respecto del horno, los pol'igonos, aunque regulares,
dan resultados no regulares en el borde, debido a la distinta distancia y
posici'on del pol'igono a 'estos. Estas diferencias pueden observarse en la
presentaci'on de resultados de la siguiente secci'on.

Luego, se prob'o el programa desarrollado con distintas instancias del 
problema. Los casos de test pueden dividirse en dos grupos. El radio del 
c'irculo exterior fue de 1 en todos los casos de test. Todos los casos de 
test fueron realizados con $T_{i} = 5000, T_{\infty} = 30$ y $h/K = 0.05$

El primer grupo de casos de test consiste en dejar fijas las variables de la 
discretizaci'on y probar distintos pol'igonos centrados y desplazados.

Se define el radio de un pol'igono como el radio de la circunferencia 
circunscripta a el. Se hicieron pruebas con pol'igonos de 3, 4, 5, 6 y 10 
lados. Para cada uno de estos pol'igonos de prob'o con distintos radios: 
0.4, 0.5 y 0.6. Finalmente cada una de estas combinaciones de cantidad de 
lados/radio fue posicionada en el centro de la circunferencia y con 
desplazamientos de 0.1, 0.2 y 0.3 en la direcci'on $\pi/4$.

Para el segundo conjunto de casos de test se fij'o la estructura del horno y 
se dispusieron variaciones en los factores de la discretizaci'on.
En primer lugar se defini'o que se utilizar'ian dos pol'igonos de 3 y 5 lados
respectivamente para hacer las pruebas, ambos de 0.4 de radio.
El tri'angulo estar'a centrado mientras que el pent'agono ser'a desplazado en 
0.3 en la direcci'on de $\pi/4$. Estos dos casos se tomaron como 
representativos del conjunto completo realizado inicialmente.

Los posibles valores para $n$ (partici'on de los 'angulos) ser'an 15, 20 y 25. 
Para $m$ (partici'on de los radios) los valores posibles ser'an 
10, 15, 20 y 25.

